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復數的加法與減法

2005年11月10日 來源:網友提供 作者:未知 字體:[ ]

教學目標

   (1)掌握復數加法與減法運算法則,能熟練地進行加、減法運算;

  (2)理解并掌握復數加法與減法的幾何意義,會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題;

  (3)能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題;

  (4)通過學習平行四邊形法則和三角形法,培養學生的數形結合的數學思想;

  (5)通過本節內容的學習,培養學生良好思維品質(思維的嚴謹性,深刻性,靈活性等).


教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

  本節的重點是復數加法法則。難點是復數加減法的幾何意義。復數加法法則是教材首先規定的法則,它是復數加減法運算的基礎,對于這個規定的合理性,在教學過程中要加以重視。復數加減法的幾何意義的難點在于復數加減法轉化為向量加減法,以它為根據來解決某些平面圖形的問題,學生對這一點不容易接受。

三、教學建議

  (1)在復數的加法與減法中,重點是加法.教材首先規定了復數的加法法則.對于這個規定,應通過下面幾個方面,使學生逐步理解這個規定的合理性:①當 時,與實數加法法則一致;②驗證實數加法運算律在復數集中仍然成立;③符合向量加法的平行四邊形法則.
  (2)復數加法的向量運算講解設 ,畫出向量 后,提問向量加法的平行四邊形法則,并讓學生自己畫出和向量(即合向量) ,畫出向量 后,問與它對應的復數是什么,即求點Z的坐標OR與RZ(證法如教材所示).
  (3)向學生介紹復數加法的三角形法則.講過復數加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后,可以指出向量加法還可按三角形法則來進行:如教材中圖8-5(2)所示,求 的和,可以看作是求 的和.這時先畫出第一個向量 ,再以 的終點為起點畫出第二個向量 ,那么,由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量 ,就是這兩個向量的和向量.
  (4)向學生指出復數加法的三角形法則的好處.向學生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的:例如講到當 在同一直線上時,求它們的和,用三角形法則來解釋,可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些;講復數減法的幾何意義時,用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.
  (5)講解了教材2后,應強調 (注意:這里 是起點, 是終點)就是同復數 對應的向量.點 之間的距離 就是向量 的模,也就是復數 的模,即

  例如,起點對應復數-1、終點對應復數 的那個向量(如圖),可用 來表示.因而點 )點間的距離就是復數     的模,它等于

 

教學設計示例

復數的減法及其幾何意義

      教學目標

  1.理解并掌握復數減法法則和它的幾何意義.

  2.滲透轉化,數形結合等數學思想和方法,提高分析、解決問題能力.

  3.培養學生良好思維品質(思維的嚴謹性,深刻性,靈活性等).

教學重點和難點

  重點:復數減法法則.

  難點:對復數減法幾何意義理解和應用.

教學過程設計

(一)引入新課

  上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義,今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義.(板書課題:復數減法及其幾何意義)

(二)復數減法

  復數減法是加法逆運算,那么復數減法法則為( + i)-( + i)=( - +( - i,

1.復數減法法則

  (1)規定:復數減法是加法逆運算;

  (2)法則:( + i)-( + i)=( - +( - i( R).

  把( + i)-( + i)看成( + i)+(-1)( + i)如何推導這個法則.

+ i)-( + i)=( + i)+(-1)( + i)=( + i)+(- - i)=( - +( - i.

  推導的想法和依據把減法運算轉化為加法運算.

  推導:設( + i)-( + i)= + i( R).即復數 + i為復數 + i減去復數 + i的差.由規定,得( + i)+( + i)= + i,依據加法法則,得( + +( + i= + i,依據復數相等定義,得

  故( + i)-( + i)=( - +( - i.這樣推導每一步都有合理依據.

  我們得到了復數減法法則,兩個復數的差仍是復數.是唯一確定的復數.

  復數的加(減)法與多項式加(減)法是類似的.就是把復數的實部與實部,虛部與虛部分別相加(減),即( + i)±( + i)=( ± +( ± i.

(三)復數減法幾何意義

  我們有了做復數減法的依據——復數減法法則,那么復數減法的幾何意義是什么?
  設z= + i( R),z1= + i( R),對應向量分別為 如圖

  由于復數減法是加法的逆運算,設z=( - +( - i,所以z-z1=z2z2+z1=z,由復數加法幾何意義,以 為一條對角線, 1為一條邊畫平行四邊形,那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復數z-z1的差( - +( - i對應,如圖.

  在這個平行四邊形中與z-z1差對應的向量是只有向量 2嗎? 

  還有 . 因為OZ2 Z1Z,所以向量 ,也與z-z1差對應.向量 是以Z1為起點,Z為終點的向量.

  能概括一下復數減法幾何意義是:兩個復數的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.

(四)應用舉例

  

  

  在直角坐標系中標Z1-2,5),連接OZ1,向量 1與多數z1對應,標點Z23,2),Z2關于x軸對稱點Z23,-2),向量 2與復數對應,連接,向量的差對應(如圖).

  例2 根據復數的幾何意義及向量表示,求復平面內兩點間的距離公式.

  解:設復平面內的任意兩點Z1Z2分別表示復數z1z2,那么Z1Z2就是復數對應的向量,點之間的距離就是向量的模,即復數z2-z1的模.如果用d表示點Z1Z2之間的距離,那么d=|z2-z1|.

  例3  在復平面內,滿足下列復數形式方程的動點Z的軌跡是什么.

  (1)|z-1-i|=|z+2+i|;

  方程左式可以看成|z-(1+i)|,是復數Z與復數1+i差的模.

  幾何意義是是動點Z與定點(1,1)間的距離.方程右式也可以寫成|z-(-2-i)|,是復數z與復數-2-i差的模,也就是動點Z與定點(-2,-1)間距離.這個方程表示的是到兩點(+1,1),(-2,-1)距離相等的點的軌跡方程,這個動點軌跡是以點(+1,1),(-2,-1)為端點的線段的垂直平分線.

  (2)|z+i|+|z-i|=4;

  方程可以看成|z-(-i)|+|z-i|=4,表示的是到兩個定點(0,-1)和(0,1)距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.

  (3)|z+2|-|z-2|=1.

  這個方程可以寫成|z-(-2)|-|z-2|=1,所以表示到兩個定點(-2,0),(2,0)距離差等于1的點的軌跡,這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.

  由z1-z2幾何意義,將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|,由此得到線段垂直平分線,橢圓、雙曲線等復數方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質特征.

  例4  設動點Z與復數z= + i對應,定點P與復數p= + i對應.求

  (1)復平面內圓的方程;

  解:設定點P為圓心,r為半徑,如圖

  由圓的定義,得復平面內圓的方程|z-p|=r.

  (2)復平面內滿足不等式|z-p|<r(r∈R+)的點Z的集合是什么圖形?

  解:復平面內滿足不等式|z-p|<r(r∈R+)的點的集合是以P為圓心,r為半徑的圓面部分(不包括周界).利用復平面內兩點間距離公式,可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程.不等式等問題.

(五)小結

  我們通過推導得到復數減法法則,并進一步得到了復數減法幾何意義,應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式,可以用復數研究解析幾何問題,不等式以及最值問題.

(六)布置作業P193習題二十七:2,3,8,9.

 

探究活動

復數等式的幾何意義

  復數等式 在復平面上表示以 為圓心,以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。

       分析與解

  1.  復數等式 在復平面上表示線段 的中垂線。

  2.  復數等式 在復平面上表示一個橢圓。

  3.  復數等式 在復平面上表示一條線段。

  4.  復數等式 在復平面上表示雙曲線的一支。

  5.  復數等式 在復平面上表示原點為O 構成一個矩形。

  說明 復數與復平面上的點有一一對應的關系,如果我們對復數的代數形式工(幾何意義)之間的關系比較熟悉的話,必然會強化對復數知識的掌握。


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