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復數的乘法與除法

2005年7月17日 來源:網友提供 作者:未知 字體:[ ]

教學目標

  (1)掌握復數乘法與除法的運算法則,并能熟練地進行乘、除法的運算;

  (2)能應用i和 的周期性、共軛復數性質、模的性質熟練地進行解題;
  
  (3)讓學生領悟到“轉化”這一重要數學思想方法;
  
  (4)通過學習復數乘法與除法的運算法則,培養學生探索問題、分析問題、解決問題的能力。

 

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

  本節的重點和難點是復數乘除法運算法則及復數的有關性質.復數的代數形式相乘,與加減法一樣,可以按多項式的乘法進行,但必須在所得的結果中把 換成-1,并且把實部與虛部分合并.很明顯,兩個復數的積仍然是一個復數,即在復數集內,乘法是永遠可以實施的,同時它滿足并換律、結合律及乘法對加法的分配律.規定復數的除法是乘法的逆運算,它同多項式除法類似,當兩個多項式相除,可以寫成分式,若分母含有理式時,要進行分母有理化,而兩個復數相除時,要使分母實數化,即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復數,使分母變成實數.

三、教學建議

  1.在學習復數的代數形式相乘時,復數的乘法法則規定按照如下法則進行.設 是任意兩個復數,那么它們的積:

      

  也就是說.復數的乘法與多項式乘法是類似的,注意有一點不同即必須在所得結果中把 換成一1,再把實部,虛部分別合并,而不必去記公式.

  2.復數的乘法不僅滿足交換律與結合律,實數集R中整數指數冪的運算律,在復數集C中仍然成立,即對任何 ,有:

對于復數 只有在整數指數冪的范圍內才能成立.由于我們尚未對復數的分數指數冪進行定義,因此如果把上述法則擴展到分數指數冪內運用,就會得到荒謬的結果。如 ,若由 ,就會得到 的錯誤結論,對此一定要重視。

3.講解復數的除法,可以按照教材規定它是乘法的逆運算,即求一個復數 ,使它滿足 (這里 是已知的復數).列出上式后,由乘法法則及兩個復數相等的條件得:

由此

,  

于是

得出商以后,還應當著重向學生指出:如果根據除法的定義,每次都按上述做來法逆運算的辦法來求商,這將是很麻煩的.分析一下商的結構,從形式上可以得出兩個復數相除的較為簡捷的求商方法,就是先把它們的商寫成分式的形式,然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數,再把結果化簡即可.

  4.這道例題的目的之一是訓練我們對于復數乘法運算、乘方運算及乘法公式的操作,要求我們做到熟練和準確。從這道例題的運算結果,我們應該看出, 也是-1的一個立方根。因此,我們應該修正過去關于“-1的立方根是-1”的認識,想到-1至少還有一個虛數根 。然后再回顧例2的解題過程,發現其中所有的“-”號都可以改成“±”。這樣就能找出-1的另一個虛數根 。所以-1在復數集C內至少有三個根:-1, 。以上對于一道例題或練習題的反思過程,看起來并不難,但對我們學習知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維,拓寬和加深我們的知識,使我們對一個問題的認識更加全面。

  5.教材194頁第6題 這是關于復數模的一個重要不等式,在研究復數模的最值問題中有著廣泛的應用。在應用上述絕對值不等式過程中,要特別注意等號成立的條件。

 

教學設計示例

復數的乘法

教學目標

  1.掌握復數的代數形式的乘法運算法則,能熟練地進行復數代數形式的乘法運算;

  2.理解復數的乘法滿足交換律、結合律以及分配律;

  3.知道復數的乘法是同復數的積,理解復數集C中正整數冪的運算律,掌握i的乘法運算性質.

教學重點難點

  復數乘法運算法則及復數的有關性質.

  難點是復數乘法運算律的理解.

教學過程設計

1.  引入新課

  前面學習了復數的代數形式的加減法,其運算法則與兩個多項式相加減的辦法一致.那么兩個復數的乘法運算是否仍可與兩個多項式相乘類似的辦法進行呢?

  教學中,可讓學生先按此辦法計算,然后將同學們運算所得結果與教科書的規定對照,從而引入新課.

2.  提出復數的代數形式的運算法則:

  

  指出這一法則也是一種規定,由于它與多項式乘法運算法則一致,因此,不需要記憶這個公式.

3.  引導學生證明復數的乘法滿足交換律、結合律以及分配律.

4.  講解例1、例2

  例1 求

  此例的解答可由學生自己完成.然后,組織討論,由學生自己歸納總結出共軛復數的一個重要性質:

  教學過程中,也可以引導學生用以上公式來證明:

  

  例2         計算

  教學中,可將學生分成三組分別按不同的運算順序進行計算.比如說第一組按 進行計算;第二組按 進行計算.討論其計算結果一致說明了什么問題?

5.  引導學生得出復數集中正整數冪的運算律以及i的乘方性質

  教學過程中,可根據學生的情況,考慮是否將這些結論推廣到自然數冪或整數冪.

6.  講解例3

  例3         設 ,求證:(1) ;(2)

  講此例時,應向學生指出:(1)實數集中的乘法公式在復數集中仍然成立;(2)復數的混合運算也是乘方,乘除,最后加減,有括號應先處括號里面的.

  此后引導學生思考:(1)課本中關于(2)小題的注解;(2)如果 ,則 還成立嗎?

7.  課堂練習

  課本練習第1、2、3題.

8.  歸納總結

  (1)學生填空:

              

  設 ,則                

  設 (或 ),則         

  (2)對復數乘法、乘方的有關運算進行小結.

9.作業

  課本習題5.4第1、3題.


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