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橢圓及其標準方程1

2005年1月2日 來源:網友提供 作者:未知 字體:[ ]

教學目標

  1.掌握橢圓的定義,掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程;
  2.能根據條件確定橢圓的標準方程,掌握運用待定系數法求橢圓的標準方程;
  3.通過對橢圓概念的引入教學,培養學生的觀察能力和探索能力;
  4.通過橢圓的標準方程的推導,使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法,并滲透數形結合和等價轉化的思想方法,提高運用坐標法解決幾何問題的能力;
  5.通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程,激發學生學習數學的積極性,培養學生的學習興趣和創新意識.


教學建議

教材分析

1.  知識結構

2.重點難點分析

  重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式.難點是橢圓標準方程的建立和推導.關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法.

  橢圓及其標準方程這一節教材整體來看是兩大塊內容:一是橢圓的定義;二是橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的,所以教材把對橢圓的研究放在了重點,在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的.

  (1)對于橢圓的定義的理解,要抓住橢圓上的點所要滿足的條件,即橢圓上點的幾何性質,可以對比圓的定義來理解.

  另外要注意到定義中對“常數”的限定即常數要大于 .這樣規定是為了避免出現兩種特殊情況,即:“當常數等于 時軌跡是一條線段;當常數小于 時無軌跡”.這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質.但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況,以保證對橢圓定義的準確性.

  (2)根據橢圓的定義求標準方程,應注意下面幾點:

  ①曲線的方程依賴于坐標系,建立適當的坐標系,是求曲線方程首先應該注意的地方.應讓學生觀察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進行推理,發現橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸,不但可以使方程的推導過程變得簡單,而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔.

  ②設橢圓的焦距為 ,橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ,令 ,這些措施,都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔,要讓學生認真領會.

  ③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡,這既是我們今后在求軌跡方程時經常遇到的問題,又是學生的難點.要注意說明這類方程的化簡方法:①方程中只有一個根式時,需將它單獨留在方程的一側,把其他項移至另一側;②方程中有兩個根式時,需將它們分別放在方程的兩側,并使其中一側只有一項.

  ④教科書上對橢圓標準方程的推導,實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證明,”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”.這實際上是方程的同解變形問題,難度較大,對同學們不作要求.

  (3)兩種標準方程的橢圓異同點

  中心在原點、焦點分別在 軸上, 軸上的橢圓標準方程分別為: .它們的相同點是:形狀相同、大小相同,都有 .不同點是:兩種橢圓相對于坐標系的位置不同,它們的焦點坐標也不同.

  橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大;

  橢圓的焦點在 軸上 標準方程中 項的分母較大.

  另外,形如 中,只要 同號,就是橢圓方程,它可以化為

  (4)教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法.例3有三個作用:第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法;第二是向學生說明,如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同,那么這個軌跡是橢圓;第三是使學生知道,一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓.

教法建議

  (1)使學生了解圓錐曲線在生產和科學技術中的應用,激發學生的學習興趣.

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